☛ Racine de 2 n'est pas un nombre rationnel

Énoncé

Démontrer que \(\sqrt{2}\) n'est pas un nombre rationnel.

Solution

Montrons par l'absurde que \(\sqrt{2}\) n'est pas un nombre rationnel.

1. Supposons que \(\sqrt{2}\) est un nombre rationnel. On peut alors écrire \(\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\) où \(p\) et \(q\) sont deux entiers premiers entre eux avec \(q\neq0\).
On élève l'égalité   \(\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\)  au carré, on obtient \(2=\dfrac{p^2}{q^2}\) et donc \(p^2=2q^2\).
2. D'après l'égalité précédente, \(p^2\) est pair. Comme le carré d'un nombre impair est impair, on en déduit que \(p\) ne peut pas être impair. \(p\) est donc forcément pair.
3. On pose alors \(p=2n\) où \(n\) désigne un entier naturel. On remplace \(p\) par \(2n\) dans la relation \(p^2=2q^2\), on obtient \(4n^2=2q^2\) et donc \(2n^2=q^2\). On en déduit que \(q^2\) est pair et donc que \(q\) est pair.
4. On a donc une contradiction car on vient de démontrer que \(p\) et \(q\) sont tous les deux des nombres pairs, c'est-à-dire qu'ils admettent 2 comme diviseur commun. Or on a supposé que \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux.
Conclusion : \(\sqrt{2}\) n'est pas un nombre rationnel.